Sari la conținut

Cuboctaedru trunchiat

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Cuboctaedru trunchiat
(animație și model 3D)
Descriere
TipPoliedru arhimedic
(Poliedru uniform)
Fețe26 (12 pătrate, 8 hexagoane, 6 octogoane)
Laturi (muchii)72
Vârfuri48
χ2
Configurația vârfului4.6.8
Simbol Wythoff2 3 4 |
Simbol Schläflitr{4,3} sau
t0,1,2{4,3}
Simbol ConwaybC sau taC
Diagramă Coxeter
Grup de simetrieOh, B3, [4,3], (*432), ordin 48
Grup de rotațieO, [4,3]+, (432), ordin 24
Arie≈ 61,755 a2   (a = latura)
Volum≈ 41,799 a3   (a = latura)
Unghi diedru4-6: arccos(−6/3) = 144° 44′ 08″
4-8: arccos(−2/3) = 135°
6-8: arccos(−3/3) = 125°15′51″
Poliedru dualDodecaedru disdiakis
ProprietățiPoliedru semiregulat (zonoedru) convex cu fețe poligoane regulate, tranzitiv pe vârfuri
Figura vârfului
Desfășurată

În geometrie cuboctaedrul trunchiat este un poliedru arhimedic. Are 26 de fețe regulate (12 pătrate, 8 fețe hexagonale și 6 octogonale), 72 de laturi și 48 de vârfuri. Deoarece fiecare dintre fețele sale are simetrie față de centru (echivalent, simetrie de rotație de 180°), cuboctaedrul trunchiat este un zonoedru. Împreună cu prisma octogonală, cuboctaedrul trunchiat poate tesela spațiul ca fagure cubic omnitrunchiat.

Are indicele de poliedru uniform U11,[1] indicele Coxeter C23 și indicele Wenninger W15.

Nume alternative

[modificare | modificare sursă]
Cuboctaedrul,
trunchierea sa

Numele de cuboctaedrul trunchiat i-a fost dat de Johannes Kepler. Aceste nume poate crea confuzii, deoarece actual prin trunchiere un cuboctaedru are dreptunghiuri în locul pătratelor, însă acel poliedru neuniform este topologic echivalent cu poliedrul arhimedic numit astfel (nu tocmai riguros). Alte nume sunt:

Există un poliedru uniform neconvex cu un nume asemănător: marele rombicuboctaedru neconvex.

Coordonate carteziene

[modificare | modificare sursă]

Coordonatele carteziene ale vârfurilor unui cuboctaedru trunchiat având lungimea laturii 2 și centrat în origine sunt toate permutările:

.

Arie și volum

[modificare | modificare sursă]

Aria A și volumul V ale cuboctaedrului trunchiat cu lungimea laturii a sunt:

Cuboctaedrul trunchiat este anvelopa convexă a unui rombicuboctaedru cu cuburi deasupra celor 12 pătrate cu axe de simetrie cu două poziții. Restul spațiului său poate fi divizat în 6 cupole pătrate sub octogoane și 8 cupole triunghiulare sub hexagoane.

Un cuboctaedru trunchiat divizat poate crea un toroid Stewart de genul 5, 7 sau 11 prin îndepărtarea rombicuboctaedrului central și fie a celor 6 cupole pătrate, fie a celor 8 cupole triunghiulare sau, respectiv, a celor 12 cuburi. De asemenea, mulți alți toroizi cu simetrie inferioară pot fi construiți prin îndepărtarea rombicuboctaedrului central și a unui subset al celorlalte componente de divizare. De exemplu, îndepărtarea a 4 dintre cupolele triunghiulare creează un toroid de genul 3; dacă aceste cupole sunt alese corespunzător, atunci acest toroid are simetrie tetraedrică.[3][4]

Colorare ca poliedru uniform

[modificare | modificare sursă]

Colorarea ca poliedru uniform se face cu câte o culoare pentru fiecare tip de față.

Proiecții ortogonale

[modificare | modificare sursă]

Cuboctaedrul trunchiat are două proiecții ortogonale speciale în planele Coxeter A2 și B2 cu simetriile proiecțiilor [6] și [8], iar numeroase simetrii [2] pot fi construite în diferite plane de proiecție în raport cu elementele poliedrului.

Proiecții ortogonale
Centrate pe Vârf Latura
4-6
Latura
4-8
Latura
6-8
Normala
feței 4-6
Imagine
Simetria
proiecției
[2]+ [2] [2] [2] [2]
Centrate pe Normala feței
pătrate
Normala feței
octogonale
Fața
pătrată
Fața
hexagonală
Fața
octogonală
Imagine
Simetria
proiecției
[2] [2] [2] [6] [4]

Pavări sferice

[modificare | modificare sursă]

Cuboctaedrul trunchiat poate fi reprezentat și ca o pavare sferică și proiectat pe plan printr-o proiecție stereografică. Această proiecție este conformă, păstrând unghiurile, dar nu și ariile sau lungimile. Liniile drepte pe sferă sunt proiectate pe plan ca arce de cerc.

Proiecție ortogonală centrată pe pătrat centrată pe hexagon centrată pe octogon
Proiecții stereografice

Grupul octaedric complet

[modificare | modificare sursă]
Dual: Dodecaedru disdiakis

La fel ca multe alte poliedre, octaedrul trunchiat are o simetrie octaedrică completă, dar relația sa cu grupul octaedric complet este mai complexă decât aceasta: cele 48 de vârfuri corespund elementelor grupului și fiecare față a dualului său este un domeniu fundamental al grupului.

Imaginea din dreapta arată cele 48 de permutări din grup aplicate unui obiect. Cele 24 de elemente „F” de culoare deschisă sunt rotații, iar cele de culoare închisă sunt reflexiile lor.

Laturile poliedrului corespund celor 9 reflexii din grup:

  • Cele dintre octogoane și pătrate corespund celor 3 reflexii dintre octogoanele opuse.
  • Laturile hexagonale corespund celor 6 reflexii dintre pătratele opuse.
  • (Nu există reflexii între hexagoanele opuse.)

Subgrupurile corespund poliedrelor care au în comun vârfurile respective cu cele ale octaedrului trunchiat.
De exemplu, cele 3 subgrupuri cu 24 de elemente corespund unui cub snub neuniform cu simetrie octaedrică chirală, unui rombicuboctaedru neuniform cu simetrie piritoedrică (octaedrul snub cantic) și unui octaedru trunchiat neuniform cu simetrie tetraedrică completă. Subgrupul unic cu 12 elemente este grupul altern A4. Acesta corespunde unui icosaedru neuniform cu simetrie tetraedrică chirală.

Subgrupuri și poliedrele corespondente
Cuboctaedru trunchiat

tr{4,3}
Cub snub

sr{4,3}
Rombicuboctaedru

s2{3,4}
Octaedru trunchiat

h1,2{4,3}
Icosaedru
[4,3]
Octaedrică completă
[4,3]+
Octaedrică chirală
[4,3+]
Simetrie piritoedrică
[1+,4,3] = [3,3]
Tetraedrică completă
[1+,4,3+] = [3,3]+
Tetraedrică chirală
toate 48 vârfuri 24 vârfuri 12 vârfuri

Poliedre înrudite

[modificare | modificare sursă]
Tetraedrul și cubul „papion” conțin două fețe trapezoidale în locul fiecărui pătrat.[5]

Cuboctaedrul trunchiat face parte dintr-o familie de poliedre uniforme înrudite cu cubul și octaedrul regulat.

Poliedre octaedrice uniforme    
Simetrie: [4,3], (*432) [4,3]+
(432)
[1+,4,3] = [3,3]
(*332)
[3+,4]
(3*2)
{4,3} t{4,3} r{4,3}
r{31,1}
t{3,4}
t{31,1}
{3,4}
{31,1}
rr{4,3}
s2{3,4}
tr{4,3} sr{4,3} h{4,3}
{3,3}
h2{4,3}
t{3,3}
s{3,4}
s{31,1}

=

=

=
=
sau
=
sau
=





Dualele celor de mai sus
V43 V3.82 V(3.4)2 V4.62 V34 V3.43 V4.6.8 V34.4 V33 V3.62 V35


Acest poliedru face parte dintr-o secvență de modele uniforme cu configurația vârfului (4.6.2p) și diagrama Coxeter–Dynkin . Pentru p < 6, membrii secvenței sunt poliedre omnitrunchiate (zonoedre), prezentate mai jos ca pavări sferice. Pentru p < 6, acestea sunt pavări ale planului hiperbolic, începând cu pavare triheptagonală trunchiată.

Variante de pavări omnitrunchiate cu simetrie *n32: 4.6.2n
Simetrie
*n32
[n,3]
Sferice Euclid. Hiperb. compacte Paraco. Hiperbolice necompacte
*232
[2,3]
*332
[3,3]
*432
[4,3]
*532
[5,3]
*632
[6,3]
*732
[7,3]
*832
[8,3]
*∞32
[∞,3]
 
[12i,3]
 
[9i,3]
 
[6i,3]
 
[3i,3]
Imagini
Config. 4.6.4 4.6.6 4.6.8 4.6.10 4.6.12 4.6.14 4.6.16 4.6.∞ 4.6.24i 4.6.18i 4.6.12i 4.6.6i
Duale
Config. V4.6.4 V4.6.6 V4.6.8 V4.6.10 V4.6.12 V4.6.14 V4.6.16 V4.6.∞ V4.6.24i V4.6.18i V4.6.12i V4.6.6i
Variante de pavări omnitrunchiate cu simetrie *n42: 4.8.2n
Simetrie
*n42
[n,3]
Sferice Euclidiană Hiperbolice compacte Paracomp.
*242
[2,4]
*342
[3,4]
*442
[4,4]
*542
[5,4]
*642
[6,4]
*742
[7,4]
*842
[8,4]...
*∞42
[∞,4]
Figuri
omnitrunchiate

4.8.4

4.8.6

4.8.8

4.8.10

4.8.12

4.8.14

4.8.16

4.8.∞
Duale
omnitrunchiate

V4.8.4

V4.8.6

V4.8.8

V4.8.10

V4.8.12

V4.8.14

V4.8.16

V4.8.∞

Este primul dintr-o serie de hipercuburi cantitrunchiate.

Poligoane Petrie
Cuboctaedru trunchiat Tesseract cantitrunchiat 5-cub cantitrunchiat 6-cub cantitrunchiat 7-cub cantitrunchiat 8-cub cantitrunchiat
  1. ^ en Eric W. Weisstein, Uniform Polyhedron la MathWorld.
  2. ^ en Wenninger, Magnus (), Polyhedron Models, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-09859-5, MR 0467493  (Model 15, p. 29)
  3. ^ en B. M. Stewart (1970), Adventures Among the Toroids, ISBN: 978-0-686-11936-4
  4. ^ en Doskey, Alex. „Adventures Among the Toroids - Chapter 5 - Simplest (R)(A)(Q)(T) Toroids of genus p=1”. www.doskey.com. 
  5. ^ en Symmetrohedra: Polyhedra from Symmetric Placement of Regular Polygons Arhivat în , la Wayback Machine. Craig S. Kaplan
  • en Cromwell, P. (). Polyhedra. United Kingdom: Cambridge. pp. 79–86 Archimedean solids. ISBN 0-521-55432-2. 

Legături externe

[modificare | modificare sursă]